Задача с кружка МЦНМО за 8 класс (тема занятия - инвариант): "На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?"
Я предлагаю эту задачу, но с маленькой кучей камней, малышам 1-2 класса и даже дошкольникам, как исследовательскую, не на инвариант.
"На столе лежит кучка из 23 камней. Ход состоит в том, чтобы из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?"
Ребята пытаются следовать правилам, выбрасывать камень, делить кучки. У кого-то сразу не получается, у кого-то получается. Но, раз у кого то получилось, и он нам это продемонстрировал, значит это всё-таки возможно.
А дальше самое интересное. А если было 20 камней? Дети снова идут опытным путём: пробуют, но ни у кого не получается.
Тогда уже я спрашиваю: а почему?
А получится ли с 15 камнями? с 14-ю?
Почему иногда получается, а иногда нет?
Сходу дать ответ, конечно, никто из первоклассников еще не готов.
"А какое самое маленькое количество камней может быть в первой кучке, чтобы всё-таки получилось по этом правилам оставить только кучи из 3 камней?"
Вот тут большая часть наших кружковцев догадываются: "Это 7 камней! Один убираем, а 6 делим на кучки 3 и 3, и всё получилось!"
И пришло время для главного вопроса: "А сколько камней надо добавить к этой куче из 7 камней, чтобы тоже всё получилось?"
Тут многие сначала ошибаются: "3 камня!" Но их поправляют уже их товарищи: "А ведь один из них мы должны выбросить. Значит 4."
"А дальше? Сколько теперь можно добавить, чтобы снова всё получилось?"
Дети уже всё поняли и довольны: "Тоже 4 камня!"
"А сможете понять - удастся ли разложить так кучу из 47 камней?" (для них это такое же большое и малопредставимое число, как для нас 1001 камень)
И практически все понимают: " 47 - это было 7 камней и к ним 10 раз добавили по 4 камня. Значит такую кучу можно разложить по нашим правилам на маленькие кучки из 3 камней."
Яков Иосифович:
Решение "для больших":
С каждой операцией число камней уменьшается на 1, а число кучек увеличивается на 1. После х операций у нас 1001-х камней и х+1 кучка. Если бы всё получилось, то 1001-х=3(х+1), 998=4х, но 998 на 4 не делится.