Информация о материале

Предлагаем ознакомиться с интересными статьями на темы, связанные с математикой или её преподаванием.

Это интересно почитать:

  • И.М. Гельфанд К 110-летию

Лето...Педагогическое межсезонье. Время для осмысления накопленного опыта, отдыха, чтения литературы. Взял с собой, в частности, купленный накануне сборник воспоминаний о выдающемся математике ХХ века, с которым был лично знаком, и на знаменитом семинаре которого в начале 80-х бывал. Впечатления младших современников И.М. Гельфанда, тоже крупных математиков, собраны в этом сборнике.

Очень рекомендую к чтению. Поделюсь здесь пока что ярким высказыванием самого маэстро: «Четыре важнейшие черты, общие для математики, музыки и других наук и искусств: первое — красота, второе — простота, третье — точность и четвёртое — безумные идеи.»

  • The new way rich parents are paying to get their kids into the Ivy League

Эту школу (школу дополнительного образования, т.е., кружков, которые дети посещают помимо учёбы в основнй школе, в свободное время) основали на самом деле не учителя из Украины и Белоруссии, как утверждается в заметке (непонятно к чему сопровождаемой советским символом — серпом и молотом), а москвичи — выпускники знаменитой в своё время (1975-2015) школы №57 (сегодня лицея), имеющей математический класс, учащиеся которого регулярно добиваются выдающихся успехов на различных матемаических соревнованиях.

Метод, о котором пишет автор заметки, характерен для всех российских (а прежде — советских) математических школ, но за пределами этих школ практически не применявшийся (и не применяющийся по сей день). Он рассчитан на способных, а, главное, — мотивированных детей. Детей, которых не нужно заставлять учиться, делать домашние задания и т.д. Этих детей можно (и нужно) обучать в активном интерактивном режиме, нагружая их по максимуму. Естественно, получая при этом высокие результаты. Такие дети есть в любой стране, и потому его можно применять далеко за пределами республик бывшего СССР, что и сделали основатели Russian School of Mathematics в США приблизительно 25 лет тому назад.

Подробности тут: https://nypost.com/2023/02/20/russian-math-classes-are-the-new-must-for-wealthy-kids/

  • О Леониде Витальевиче Канторовиче

Леонид Витальевич Канторович — один из немногих отечественных нобелевских лауреатов и один из немногих (и, повидимому, первый) математик, кто всё-таки получил Нобелевскую премию, правда, не как математик, ибо математикам Нобелевская премия не полагается (по завещанию А.Нобеля), а как экономист.

Краткий очерк о нём известного исследователя истории науки, Евгения Берковича, можете прочитать по ссылке:

Детальному анализу сложившегося положения посвящена эта статья: https://yandex.ru/q/science_scientists/12672935426/

  • Насколько можно верить математическим доказательствам?

Казалось бы, математика и вера — вещи несовместимые, ведь в математике принято все утверждения, за исключением аксиом, доказывать! Однако не так всё просто...

Сложность математических доказательств всё время растёт, а с ними и уменьшается число тех, кому доступно их понять и проверить. Помимо этого, расширяется и число доказательств, полученных с помощью программ, перебирающих гигантское, недоступное проверке вручную число вариантов. А это означает, что мы полагаемся на безошибочность как самих этих программ, так и их реализацию компьютером. Вопрос надёжности утверждений полученных таким путём уже давно дискутируется в математическом сообществе.

Детальному анализу сложившегося положения посвящена эта статья: https://cyberleninka.ru/article/n/zatragivaet-li-krizis-vosproizvodimosti-matematiku/viewer

  • Заметки о выдающемся советском учёном-физике, академике Якове Зельдовиче. Одним из самых талантливых физиков ХХ века.

    Ссылка #1

    Ссылка #2

  • Материал из выпуска № 114 газеты «Новая газета» от 10 октября 2014

    Ссылка

  • О жизни Якова Перельмана

    Многие академики, когда их спрашивают, каким путем они пришли в науку, отвечают: «В детстве мне в руки попала тоненькая книжечка белорусского автора Якова Перельмана».

    Предлагаем Вам узнать о жизни этого замечательного Человека. Читайте в файле PDF.

  • Чему смеялся Гельфанд (Математическая новелла для нематематиков)

    2 сентября 2013 года исполнилось бы 100 лет Израилю Моисеевичу Гельфанду — одному из крупнейших ученых XX века.

    Главный вклад Гельфанда в педагогику — это, несомненно, Заочная математическая школа (известная теперь как ВЗМШ), которая является в полной мере его детищем и которая была придумана и создана буквально с нуля.

  • Человек, который переписал математику ХХ века и стал пастухом

    Александр Гротендик, один из крупнейших математиков 20 века, загадочный и чем-то напоминающий Григория Перельмана. Но, в отличие от последнего, он не был «человеком одной теоремы», пусть и великой. Он создал целое направление, был одним из главных участников группы французских математиков работавших под псевдонимом «Николай бурбаки» и...в расцвете сил и в зените славы ушедший из мира математики в уединение, прожив последние 25 лет жизни в Пиренеях, в глухой деревушке.

  • Интервью с известным московским педагогом, Наталией Сопруновой

    Наталия Сопрунова не самый типичный учитель математики, поскольку дети учатся у неё с 1-го по 11-й класс. Таков принцип её авторского курса, направленного на потребности современных детей. mel.fm поговорил с Наталией про альтернативные образовательные методики, а заодно спросили, что вообще пора менять в нашей школе.

Четыре тысячи лет назад жители Вавилонии изобрели умножение. А в марте этого года математики усовершенствовали его.

Конечно, он может быть не прав. А может быть и прав.

  • Что выгоднее строить — прямой забор в два кирпича или синусоидальный в один кирпич?

    волнистые кирпичные заборы

    В Англии иногда можно увидеть такие "волнистые" кирпичные заборы. И, как ни странно, для такого волнистого забора требуется меньше кирпичей, чем для прямого. Чтобы прямой забор был достаточно прочным, нужно выложить его как минимум в два слоя, либо он просто рухнет от легкого толчка. Волнистый же забор обеспечивает арочные складки, благодаря чему очень даже крепок и без дополнительных укреплений.

 

  • Это интересно почитать: В подходе к математике столетней давности найдены новые ключи к разгадке природы времени

  • Это интересно почитать: Статья известного композитора олимпиадных задач, доцента матмеха Санкт-Петербургского университета про математические Олимпиады

  • Это интересно почитать: Беседа с лауреатом премии им. Георгия Гамова 2019 года, математиком, профессором университета Беркли Верой Сергановой

  • Из книжки 'Icons of Mathematics': Наглядное доказательство формулы синуса суммы

    спецкурс дверца в математику

    Греки в таких случаях писали просто: Смотри!

    Но мы всё-таки подскажем -

    площадь ромба со стороной 1 равна половине площади прямоугольника и, с другой стороны, равна произведению его высоты, равной sin(a+b) на его сторону, равную 1."

  • Это интересно почитать: проблемы деления уголком

  • Что на самом деле изображено на картине Богданов–Бельский. Устный счет в народной школе

  • Интересная статья известного физика, замдиректора Института теоретической физики РАН, Михаила Фейгельмана — об отставании общества от науки

  • Широко известно об «утечке» на Запад в 20-е годы XX века крупных математиков из СССР1 . Но в суровые для советской интеллигенции 30-е годы об отъезде на Запад уже не было и речи. Репрессии шли по нарастающей. Приближался 1937 год — пик «ежовщины». И в это время (конец октября 1936 года) в СССР переселяется на постоянное жительство Арнольд Вальфиш (Arnold Walfisz) — крупный математик, основавший в 1935 г. всемирно известный математический журнал «Acta Arithmetica»".

    Об иммиграции в СССР в 20-ые-30-ые годы крупных математиков из Германии пишет В.П. Одинец:

    1. Профили математиков

    2. Жизнь вопреки стереотипам

    3. MATHEMATICIANS GOING EAST

  • Министерство просвещения заявляет о намерении «максимально конкретизировать» требования государственных образовательных стандартов. О стратегической роли этих стандартов, а также о рисках их избыточной конкретизации рассказывает психолог, идеолог образования Александр Асмолов.

    Продолжение на сайте: https://www.kommersant.ru/doc/3916011.

  • Шестнадцатого ноября 2018 года Рафаилу Калмановичу Гордину, выдающемуся учителю математики, исполнилось семьдесят лет. Уже больше сорока лет Рафаил Калманович учит геометрии, алгебре и математическому анализу школьников Пятьдесят седьмой школы. Познакомьтесь с расширенным вариантом интервью с Рафаилом Калмановичем, которое он дал в декабре 2018 года журналу "Квант". Могу добавить от себя, что в начале 90-х я познакомился с Р.К., побывал у него на уроке в 57-ой школе. Сильное впечатление произвёл на меня не только сам по себе увиденный мной урок в исполнении Мастера, но и личность самого учителя - галантного, мягкого, обаятельного, интеллигентного человека. Нечего и говорить, что ученики его просто обожали.

    Далее читайте на сайте MSKobr.

  • Не реформировать ли реформы?": интервью известного питерского педагога, Народного учителя России, Сергея Евгеньевича Рукшина не менее известному журналисту газеты "Санкт-Петербургские ведомости", специалисту в области культуры и образования, Анастасии Долгашовой от 7 декабря.

    Слова Германа Грефа о том, что физматшколы - пережиток советского прошлого, не единственное из «удививших общественность». В последние месяцы нам было что пообсуждать: предложено сократить учебную неделю, отменить отметки, разделить вузы на три категории. К этим предложениям общественность отнеслась настолько серьезно, что всю осень в Москве и Петербурге то и дело проходили заседания и дискуссии.

    В Общественной палате РФ с докладом выступил народный учитель России Сергей Рукшин и говорил о проблемах школы (как учитель математики, создатель знаменитого Городского математического центра при Президентском физматлицее № 239), вузов (как профессор РГПУ им. Герцена) и в целом о системе управления образованием (как общественный деятель - зампред Общественного совета Минобрнауки РФ). Мы попросили профессора Рукшина повторить главные тезисы, а заодно поинтересовались: почему он считает, что власть заинтересована в независимой общественной экспертизе сферы образования?

    - Сергей Евгеньевич, вы говорите, что такая плотность «образовательных» общественных дискуссий неспроста...

    - Да, был сентябрьский опрос Общественной палаты РФ по поводу очередных предложений реформаторов, выездное заседание Совета по правам человека при президенте, целиком посвященное проблемам образования, «круглый стол» Общественной палаты РФ по общественному контролю за результатами 20-летних реформ образования, форум «Сообщество» в Москве с участием президента - там была секция «Гражданское общество и образование». Был совет уполномоченных по правам человека всех регионов России, тоже о праве на образование... И, наконец, «правительственный час» в Госдуме с участием министра просвещения Ольги Васильевой.

    Далее читайте на сайте "Ведомости.СПб".

  • Почему Петербург стал математической столицей России?

    Математика снова становится модной. А математик из Петербурга — это еще и уважаемый бренд. Про фанатов формул и уравнений снимают фильмы и сериалы, их завлекают к себе на работу нефтяники и крупнейшие торговые сети. Что может быть общего у математических моделей, скважин и клиентов в ритейле — "СобакаСПБру" разбиралась в этом вопросе вместе с молодыми петербургскими учеными.

    Команды СПбГУ и ИТМО становятся победителями чемпионата мира по программированию ACM/IC PC чаще представителей Стэнфорда и Гарварда. И престижные награды Института Клэя в нынешнем году снова достались петербургским ученым, которые дальше других продвинулись в решении задач, оставшихся после доказательства гипотезы Пуанкаре. Неудивительно, что научное сообщество выбрало Петербург местом проведения в 2022 году Международного конгресса математиков. На этом престижном мероприятии, которое проходит раз в четыре года, вручают «математические Нобелевки» — медали Филдса. И до сих пор Россия принимала этот «мундиаль» только однажды — в 1966 году.

    Далее читайте на сайте редакции.

  • Перевод эссе Пола Локхарда: Плач математика.
  • Статья учителя математики, автора задачников и книги стихов Дмитрия Шноля: в школьных делах разбираются все.
  • Важная статья от Народного учителя России Сергея Рукшина: о "сливе" заданий ЕГЭ по математике этого года в Интернет накануне экзамена.
  • Статья Александра Денисенко: Колмогоровский интернат и Вторая школа - на двух полюсах одной планеты.
  • Статья Я.И. в электронном издании трудов конференции, посвящённой 115-летию со дня рождения проф. П.Я. Гальперина  и состоявшейся 2-3 октября 2017 года.
  • VIII Открытый семинар учителей математики в Санкт-Петербурге собрал более 150 учителей из Москвы, Санкт-Петербурга, Челябинска, Ростовской области, Дагестана, Якутии и других регионов России. Докладчиками были два Народных учителя и несколько заслуженных учителей РФ, профессора и преподаватели ведущих ВУЗов. Принимающей стороной на этот раз были три выдающиеся школы города: Физико-технический лицей при Академическом университете (Жореса Алфёрова, нобелевского лауреата), Президентский физико-математический лицей №239 и Губернаторский физико-математический лицей №30.

    Семинар проходил с 30 апреля по 6 мая.

    Ссылка на Google-диск, где выложены материалы докладчиков семинара учителей математики

  1. Лекция Михаила Анатольевича Цфасмана "Судьбы математики в России"
  2. Елена Сергеевна Вентцель
  3. Математика прежде всего учит скромности
  4. Интервью с математиком Александром Буфетовым: «Математика – один из самых старых видов интеллектуальной деятельности»
  5. Статья Александра Привалова о просвещении
  6. Ещё одна замечательная статья Сергея Рукшина
  7. Сергей Рукшин - о себе и о своих знаменитых учениках
  8. Интервью Сергея Рукшина
  9. Статья Сергея Рукшина про непродуманные реформы образования, угрожающие национальной безопасности страны
  10. Новая статья Сергея Рукшина в Санкт-Петербургских ведомостях
  11. Модели многогранников. Статья M. WENNINGER, POLYHEDRON MODELS выложена на сайте wenninger.narod.ru - рисунки выкроек моделей нарисованы заново, чтобы избежать искажений при сканировании.
  12. Эстетическая Геометрия.Автор - Револьт Пименов из лицея им. Иоффе, г. Санкт-Петербург
  13. Статья, присланная нашим коллегой, теперь уже из Бостона, Сергеем Беляевым: Адольф Дистервег - "Руководство к образованию немецких учителей"
  14. Некоторые материалы с 13-го Международного конгресса по математическому образованию, состоявшегося летом прошлого года. "Математика для школы 21-го века": Презентация и PDF-файл
  15. Выступление знаменитого Николая Николаевича Константинова на том же 13-ом Международном конгрессе по математическому образованию в Гамбурге. Н.Н. - один из отцов-основателей всех совеременных математических кружков и олимпиад, и многого другого, в тч. Турнира Городов, МЦНМО (Московского Центра Непрерывношо Математического Образования), Независмого Математического Университета и т.д.

Российские математические классы: рассказ о них от одного из основателей математических кружков в стране, основателя Турнира городов и Московского Независимого университета, Николая Николаевича Константинова

"Основные принципы работы в математических классах — тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встречаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа — они способны надолго увлечь большинство учащихся. Но выбор тем сильно зависит от преподавателей, от их способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе учащихся в ней.

Тщательность означает, что тема проходится не временно («в вузе вас этому обучат как следует»), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Основная роль учителя — не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам ученика. Этот интерес и является основным стимулом, который имеется в руках учителя, а вовсе не двойки и пятерки, которые, конечно, что-то стимулируют, но, к сожалению, совсем не то, что требуется.

Неторопливость означает, что на каждую трудность уходит столько времени, сколько нужно. Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно к определенному сроку что-то «пройти» — неважно хорошо или плохо. Это — беда, так как в результате не пройдено ничего, и всем становится неинтересно — и ученикам, и учителям.

Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, иногда почти весь материал, выполняется учащимися самостоятельно — они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых задач и теорем. Прямой рассказ учителя малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных учеников видит разницу между фразами: «для любого С найдется х, который больше С» и «найдется х, который больше любого С». Вот и судите, много ли поймут ученики из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки учителя становится структурирование материала."

Подробнее см. в https://mccme.ru/edu/konst/2001-matklassy.htm

П.С. текст написан автором в 2001 специально для матклассов. Сегодня он становится вновь актуальным в связи с основанием при Центре педагогического мастерства "математической вертикали" - широкой сети матклассов, покрывающих почти половину всех школ Москвы.

Кафедральная рассылка зав. кафедрой математики Сгибнева Алексея Ивановича (2017 год)

За 1992–2012 годы компьютеры ускорились примерно в 8000 раз. За это же время, независимо от скорости компьютера, иными словами, исключительно благодаря развитию математических идей, алгоритмы расчета ускорились в 469800 раз! Получается, что если вам нужно решить задачу линейного программирования, то лучше использовать старый компьютер и современные методы, чем наоборот, новейший компьютер и методы начала 1990-х.

Мы не устаем восхищаться прогрессом компьютерных технологий. При этом математика достигла гораздо большего прогресса, и никто даже не заметил!

По книге Литвак, Райгородский "Кому нужна математика?"

Шноль Д.Э. Сколько стоит углубленное изучение математики? (2010 год)

Прошедший съезд учителей математики оставил довольно много ярких (как положительных, так и отрицательных) впечатлений. Как обычно бывает, немало интересного было говорено в кулуарах. На секции, посвященной углубленному изучению математики, несколько выступавших разными словами выразили одну и ту же мысль: современный «математический» класс – это в основной своей массе просто нормальный класс тридцатилетней давности. Класс, в котором принято учиться и ученики которого в состоянии хорошо усвоить основную программу по математике. Класс, где на фоне общего падения уровня школьного образования удается удержать планку: за счет концентрации нормальных учеников и увеличения часов математики. Выпускник такого класса в состоянии дальше осваивать программу по математике технического ВУЗа, а это уже стало редкостью. Преподаватели ВУЗов часто в отчаянии от уровня пришедших к ним первокурсников. Насколько мне известно, в некоторых институтах уже происходит подстройка под реальный уровень студентов: в первом семестре там читают ликбез по школьной программе.

Массовые математические классы, очевидно, востребованы всем обществом: в них хотят отдать своих детей нормальные родители, в них хотят работать учителя (не только математики), такие классы являются последней надеждой негуманитарных ВУЗов. На фоне этой очевидной профессионалам картины мне показались очень тревожными рассказы моих коллег о том, что профильные математические классы в их городах часто и с пристрастием проверяются начальством и при выявленных недостатках закрываются. Делается это, как им объясняют, прежде всего, в целях экономии. Дело понятное: недостатки можно выявить всегда, было бы желание.

Мне стало интересно посчитать, сколько же стоит углубленное обучение математике? О каких суммах идет речь? Много ли можно наэкономить, закрывая профильные математические классы? Результатами такого подсчета мне и захотелось поделиться с читателем.

Проделаем этот подсчет вместе. В этом году в России было меньше 900 000 выпускников. Увеличим это число в большую сторону, будем считать, что в России по одному миллиону десятиклассников и одинадцатиклассников (вместе 2 миллиона). Разумно считать, что пятая часть из них может учиться в «массовых математических» классах, описанных выше. Итого 400 000 учеников. Будем считать, что средняя наполняемость математического класса 20 человек (в городах, конечно, больше). Значит, нужно открыть 20 тысяч математических классов. В каждом классе к базовым 4 часам по математике прибавим еще 3 часа (7 часов математики – да это мечта каждого учителя обычной школы!). Итого 100 часов в год на класс нужно прибавить. Сколько стоит один час? Это посчитать трудно, так как в разных регионах и у разных учителей он стоит по-разному. Давайте исходить из того, что в математических классах работают самые лучшие учителя (с высшей квалификационной категорией). Положим, что их час стоит 200 рублей. При этом предположении, ставка (18 часов в неделю, то есть 80 часов в месяц) будет равна 16 000 рублей. Для многих учителей с высшей категорией такая ставка – это тоже мечта. При таких наших предположениях мы получаем, что дополнительные часы в одном классе стоят  20 000 рублей. А во всех классах по всей России 400 миллионов рублей. Все ли мы учли? А учебники? Сильно изменить картину учебники не могут: они уже написаны и изданы. Вместо обычного учебника ученик получает учебник для углубленного изучения математики. А проверка тетрадей?

А предпрофильные классы и кружки по математике? Хорошо, накинем еще 25% найденной суммы. Получим полмиллиарда рублей в год. Это большие деньги или нет? Коллеги, это смешные деньги! Давайте сравним эту сумму, например, с дорожным строительством. И школьное математическое образование, и строительство дорог – это вложение в будущее страны, так что такое сравнение имеет некоторый смысл. Строительство 1 (прописью: одного!) км двухполосной дороги в России стоит в среднем около 250 млн. руб. Итак, внимание: углубленное обучение математике по всей России в год стоит столько же, сколько строительство 2 км дороги! А если сравнивать с ценой магистрали Москва–Санкт-Петербург, то столько же, сколько стоит полкилометра такой трассы.

Вернемся к съезду учителей математики. На пленарных докладах в день открытия было сказано немало пафосных слов о том, что качественное школьное математическое образование является необходимой основной интеллектуальной, технической и военной самостоятельности нашей страны. При этом советником президента А.В. Дворковичем было добавлено, что, к сожалению, Россия пока не является достаточно богатой страной, чтобы сильно увеличить финансирование школьного образования. Приятную возможность сделать выводы я предоставляю читателю.

Добавление 2012 года.

А что нужно в идеале для нормального школьного математического образования в России? Пока было посчитано только «профильное» (термин, кажется, уже успел устареть?) образование в массовых математических 9 – 11-х классах. Еще нужны:

  1. Кружки в 5-7 классе, охватывающие примерно те же 20 % школьников – по часу в неделю, это еще 3 часа в неделю на тот же процент школьников. На круг – 200 млн. в год.
  2. Особое финансирование примерно 2% школ для самых сильных математических учеников (в Москве это было бы 35 математически продвинутых школ – пожалуй, и не наберется, в других городах тем более, но заложим по максимуму на будущее развитие). Это: во-первых, еще 2 обязательных часа в неделю (для каждой параллели), во-вторых, возможность разбивать класс на подгруппы на 2-3 часа в неделю, в-третьих, дополнительные спецкурсы по выбору 2-3 часа в неделю. Итого, по максимуму 8 часов в неделю для 2% учеников 9-11 класса. Это еще чуть меньше 200 млн.рублей в год на всю страну.

Накинем еще 100 млн. на летние школы, конференции, издание хороших книг и прочие прекрасные вещи. Получим 1 миллиард рублей. 

В сентябре клуб «Зенит» получил нового игрока Халка. Точная сумма сделки не известна, но она заведомо не меньше 1,5 миллиарда рублей. 

Итак, суммарная стоимость углубленного математического образования в России за год (если говорить об идеале!) меньше, чем «стоимость» одного бразильского футболиста – единственного сына в бедной многодетной бразильской семье.Пожелаем ему и его семье удачи!

Лекция Сергея Александровича Бебчука

http://polit.ru/article/2013/01/11/bebchuk_anons/

Какие условия нужны хорошему учителю?
Какие знания не устареют через 20 лет?
Почему ботанику надо учить в сентябре и мае?
Зачем проводить уроки в музеях?
Какая часть отчётности никому не нужна?

Настоящий глоток свободы!

Смотреть всем учителям и всем будущим директорам школ!

Интересные материалы по истории и прикладной математике от Владимира Гордина

http://edu.mccme.ru/Project/OL/index.htm

Геометрический сайт Григория Филипповского
http://filippovsky.com/

Учебник по геометрии Александра Шеня.
ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/gmtr.pdf

Наглядное доказательство известной формулы

Как пишет в своей статье один из авторов сборника "Математический цветник", посвящённого незабвенному Мартину Гарднеру, Роджер Эгглтон из Австралии нашёл удивительно наглядное доказательство замечательного соотношения 1^3+2^3+..+n^3=(1+2+...+n)^2:

www.ljplus.ru/img4/j/a/janka_x/Sum_cubov.gif

Сумма в левой части тождества, как видно, равно сумме площадей квадратов, которые заполняют большой квадрат с площадью, написанной в правой части тождества.

Ибо нетрудно понять, что площади перекрывающихся квадратов равны площадям соответствующих незакрашенных квадратов.

Лекция Роджера Пенроуза в Политехническом музее
http://pmlectures.ru/video/KRUGI_VREMENI_Mojno_li_skvoz_Bolshoyi_Vzryv_razglyadet_predyduschuyu_Vselennuyu-84 

Воспоминания А.А.Кириллова

http://trv-science.ru/2013/05/21/kak-ya-ne-stal-letchikom-a-stal-matematikom/ 

Коллекция Евгения Дынкина:

dynkincollection.library.cornell.edu/biographies/875

В этой замечательном собрании биографий, фотографий, и, главное, интервью ведущих математиков ХХ-го столетия вы найдёте массу интересных фактов и окунётесь в атмосферу той эпохи, посмотрите на неё глазами её активных участников, получите представление об этом периоде истории математики в СССР.
Я только что прослушал интервью с Евгением Ландисом, совершенно исключительным, замечательным человеком, моим научным руководителем в МГУ. Послушайте и Вы - не пожалеете потраченного на это времени.

И.М.Гельфанд в воспоминаниях современников

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=8257

И.М. Гельфанд Наука и жизнь, 12/2013

Математика с человеческим лицом

Кандидат педагогических наук Елена Глаголева

В научном мире Израиль Моисеевич Гельфанд известен, прежде всего, как учёный, оставивший значительный след почти во всех областях современной математики. «Гельфанд имеет способность понимать и говорить практически на всех математических языках — и это близко к тому, чтобы говорить на всех иностранных языках», — писал профессор А. Боровик1.

Знают его также биологи (курьёзно — когда появились работы Гельфанда по биологии, некоторые специалисты интересовались, имеет ли этот биолог какое-либо отношение к знаменитому математику Гельфанду).
Но Гельфанд-педагог известен гораздо меньше. У него нет ни статей по педагогике, ни школьных учебников, он не разрабатывал программы. И, тем не менее, очень многие считают себя его учениками. Можно сказать, что учениками Гельфанда становились все, кому довелось с ним общаться, даже просто присутствуя при какой-то беседе. Один человек, попавший в «сферу влияния» Гельфанда, сказал: «Когда Гельфанд с тобой разговаривает, то чувствуешь, что в данный момент ты для него самый интересный и важный человек во всём мире». Теперь, вспоминая свои впечатления от общения Гельфанда с разными людьми, я поняла, что секрет его воздействия на людей можно выразить одним словом: неравнодушие.
Второго сентября 2013 года исполнилось 100 лет со дня рождения Израиля Моисеевича Гельфанда — одного из крупнейших учёных ХХ века.

Что такое хороший учитель

Один из учеников-сотрудников Гельфанда, проработавший десяток лет в школе, как-то сказал: «Чтобы быть учителем, нужно: знать свой предмет, уметь учить (то есть владеть педагогической техникой) и любить детей». Израиль Моисеевич задумался на несколько секунд и сказал:

«Нет, я не согласен. Это нужно, чтобы быть просто учителем, а чтобы быть хорошим учителем, нужно:

во-первых, любить свой предмет,

во-вторых, любить учить и,

в-третьих, любить тех, кого учишь».

Эта триада — своеобразное педагогическое кредо Гельфанда.

«Любить свой предмет». Часто математика представляют этаким «сухарём», рассеянным, погружённым в какие-то непонятные отвлечённые рассуждения, в общем, не от мира сего. А математику считают формальной наукой, нужной разве лишь для того, чтобы вычислять проценты.

Ничего более далёкого от действительного Гельфанда нельзя придумать. Математики о нём говорили: «Гельфанд был в своём роде магом. Мир скучных цифр, формул, уравнений он каким-то таинственным образом превращал в поразительно красивый»2. «Хотелось поучаствовать в маленьком чуде. Представьте, обсуждается сложнейший вопрос, не знаешь, как к нему подступиться. И вот на твоих глазах Гельфанд начинает «шаманить», чуть повернёт задачу то одной гранью, то другой. И всё в форме изящной игры, сдобренной шутками, анекдотами, афоризмами. Зал втягивался в игру, превращаясь в своего рода коллективный мозг. И в итоге удавалось продвинуться в решении задачи»3.

Вот как Гельфанд решил задачу, которую мощнейший математический институт брался одолеть за полгода. Нужно было понять причину неравномерного обгорания сопла реактивного двигателя, из-за которого ракета заваливалась. Гельфанд нашёл изящную и простую модель явления: горящая свеча под восковым потоком выжигает в нём лунку. И решил задачу за один вечер.

Математику Гельфанд воспринимал как часть культуры: «Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии… Человек, умеющий слушать музыку, получает от этого удовольствие, хотя вовсе не обязан быть музыкантом. Если же музыка для него не существует, то огромная часть культуры для него потеряна и духовный мир такого человека обеднён. В этом смысле математика нужна каждому человеку…» Однако он предостерегал: «…ограниченность, замыкание только в узких рамках специальности для учёного — если не смерть, то хроническая болезнь, ведущая к преждевременному старению».

Свою позицию Гельфанд подтверждал на деле. Так, когда ему предложили вести дополнительные занятия в двух математических классах московской Второй школы, он прежде всего поинтересовался, кто преподаёт в них литературу. Там работали Раскольников и Збарский, учителя замечательные, но разные по стилю преподавания, во многом даже антиподы. Израиль Моисеевич подолгу разговаривал с ними, участвовал в их горячих и частых спорах. Как-то он даже организовал эксперимент: при изучении одной из тем учителя поменялись классами, а потом все — и педагоги и ученики — обменивались впечатлениями, сравнивали, спорили.

А когда к нему привели маленькую девочку, которая решала трудные задачи по программе старших классов и тоненьким голосочком доказывала теоремы, и родители спросили, как развить её способности, Гельфанд сказал: «Отдайте её в балетную школу». У родителей хватило ума и чувства юмора последовать этому совету (правда, они предпочли фигурное катание). Девочка выросла и стала хорошим математиком.

Много лет спустя, обращаясь к ученикам Второй школы, Гельфанд сказал: «Я хочу отметить четыре важнейшие черты, общие для математики, музыки и других наук и искусств: первое — красота, второе — простота, третье — точность и четвёртое — безумные идеи».

«Любить учить». Как-то Гельфанд сказал, что математик — это не тот, кто может заниматься математикой, а тот, кто не может не заниматься ею. Можно сказать, что и учитель — это тот, кто не может не учить. В этом смысле сам Гельфанд — настоящий математик и настоящий учитель. Он был готов учить каждого, кто проявлял интерес к математике, от маленьких детей до своих титулованных коллег.

Надо сказать, что он любил не только учить, но и учиться, и говорил, что главная его сила — в умении всегда учиться, в том числе у своих учеников. «NN гораздо способнее меня, но я сильнее, потому что всё время учусь».

Этого же — умения и стремления учиться — Гельфанд требовал и от других. Он считал, что учитель, который перестал учиться, не настоящий учитель. Так, во Второй школе семинары по решению задач были для учеников необязательны. Но от учителей, которые с ними работали (и от меня тоже. — Е. Г.), Гельфанд требовал участия в семинарах, причём в качестве учеников, чтобы они не только присутствовали, но и решали те же задачи.

Разумеется, многим пришлось преодолеть свой комплекс: «Как это я буду решать задачи вместе с учениками? А вдруг они решат, а я нет?» Такой учитель порой начинает потихоньку использовать только задачи, которые сам наловчился решать. А при этом он перестаёт совершенствоваться сам и задерживает развитие учеников.

На самом же деле учитель, который на твоих глазах решает задачу, не бросает её, хотя она не выходит, добивается результата, — такой учитель не роняет свой авторитет в глазах учеников, а вызывает у них уважение.

«Любить тех, кого учишь». Как-то на замечание, что, мол, нужно давать в школе строгое изложение математики, Гельфанд парировал: «Кому нужно? Вам или ученикам?» Он, математик, ставил на первое место в обучении интересы ученика, а всё остальное — математическую строгость, требования чиновников от образования, удобство проверки (например, ЕГЭ) и прочее — считал, пользуясь удачным выражением одного из своих коллег, О. С. Ивашова-Мусатова, «обходимым и недостаточным».

Гельфанд не мог смотреть, как ребёнка губят неправильным обучением, и часто поминал рассказ Чехова о котёнке, которого насильно учили ловить мышей. Котёнок, став солидным котом, при виде мыши пугался и удирал. Таким, увы, нередко бывает и результат преподавания, которое сводится к разучиванию доказательств теорем и механической тренировке в математической технике. Подход Гельфанда совершенно иной: «Обучение должно доставлять удовольствие».

А как это сделать?

Однажды при мне Гельфанда спросили, как увлечь ребёнка математикой. Он сказал: «Надо давать хорошие задачи». Я со свойственным мне занудством тут же спросила: «А какие задачи хорошие?» Помедлив несколько секунд, Гельфанд ответил: «Хорошие задачи — это интересные и лёгкие».

Так и начинались занятия во Второй школе. Сам Гельфанд раз в неделю читал сразу двум классам лекции. Их содержание составляли интересные математические темы, например устройство четырёхмерного куба, «волшебная сберкасса» (фактически введение числа «е») и т.п. Посещение лекций в первом полугодии было необязательным. Правда, ходили почти все — да и как не пойдёшь, если преподаватель литературы (он же классный руководитель), сообщая о необязательности лекций, добавлял: «Конечно, вряд ли найдутся дураки, которые не пойдут слушать Гельфанда». А когда он читал лекцию, школьники видели перед собой человека, увлечённо занимающегося чем-то чрезвычайно важным и интересным. И срабатывал великий «принцип Тома Сойера»4.

Параллельно с лекциями шли так называемые семинары, которые вели ученики и сотрудники Гельфанда. Эти занятия тоже были необычными: не было ни опроса, ни домашних заданий. Просто давалось много разных интересных задач, трудных и не очень, и каждый выбирал, какую хотел, оценки не ставили, и если кто-то задачу не решал, его не ругали.

Целью семинаров было показать ученикам, что можно заниматься математикой не для оценки и даже не для того, чтобы сдать экзамен в вуз, а просто для удовольствия. И конечно, именно им школьники уделяли больше всего внимания, даже вне уроков постоянно обсуждали между собой и с преподавателями задачи. Мало кто хотел просто узнать решение: это было бы нравственным крахом. Считалось неприличным не то, что ты не можешь осилить задачу, а то, что не хочешь решить её сам.

Постепенно школьники начинали понимать, что одна задача, которая сначала не получается, а потом наконец решается, ценнее и, главное, интереснее, чем десять «отщёлканных» стандартных примеров. И возникало ни с чем не сравнимое ощущение: когда наконец вдруг всё, «как коронка на зуб» (сравнение Маяковского), встаёт на своё место и оказывается ясным, простым и красивым. И эта радость преодоления действовала на детей гораздо сильнее всяких «кнутов и пряников», они видели (пока краешком глаза) красоту и простоту математики.

«Математик — это тот, кто понимает»

Но красота и простота — это ещё не всё. «Работая с ребятами во Второй школе, я лучше понял, что математика — это не спорт. Надо не просто уметь решать трудные задачи, а понимать математику», — писал Израиль Моисеевич.

Поэтому во втором полугодии, когда ученики были уже, что называется, «на крючке», наступал другой этап: чтобы слушать лекции, нужно написать заявление. Требование означало, что ученик уже сам решил заниматься всерьёз. В этом отношении Гельфанд был очень строг, не терпел никакой халтуры. Студентку-первокурсницу он ругал: «Ты не имеешь морального права заниматься спустя рукава, ты прошла по конкурсу, кто-то из-за тебя не смог учиться, ты занимаешь его место!»

Сейчас много говорят о правах детей. А я думаю, что не худо бы вспомнить и об их обязанностях. Например, обязательное среднее образование — оно для кого обязательное? Похоже, что только для государства и родителей, а «дитятко» с паспортом в кармане порой ведёт себя так, будто делает величайшее одолжение одним только своим присутствием в классе.

Теперь характер занятий изменился. Вместо отдельных интересных математических «эпизодов» и разнообразных задач на семинарах и на лекциях подробно разбиралась по существу одна тема: предел последовательности. И по ней нужно было сдавать зачёт.

Такое резкое ограничение содержания следовало из убеждения Гельфанда, что «лучше понять немногое, но до конца». «Если рассказать им слишком много трудного сразу, то с некоторого момента они садятся тебе на шею и перестают понимать простейшие вещи. А спрашивать с них нужно ещё меньше — но уж спрашивать дотошно, как следует».

Под «спрашивать дотошно» Гельфанд подразумевал, что от учеников требовался не простой пересказ того, что они услышали и запомнили, а что и как поняли. Ведь без понимания результат обучения математике сводится к запоминанию набора готовых формул и «заклинаний» (вроде «на нуль делить нельзя») и умению выполнять разные «манипуляции» (например, приводить подобные члены), а Гельфанд говорил: «Математик — это тот, кто понимает».

Но оказалось, что прежде, чем научиться понимать, надо научиться не понимать! Гельфанд демонстрировал это не только школьникам: тех, кто бывал на его семинарах (как математических, так и биологических), поражало виртуозное умение Гельфанда «не понимать», что ему объясняет докладчик. Постепенно и участники семинара, и сам докладчик осознавали, что они этого не понимают, и тут-то и начиналось настоящее прояснение вопроса.

Умению не понимать и не скрывать этого Гельфанд и учил школьников. Дойдя на лекции до трудного места, он, зная, что его не все могут понять сходу, прямо спрашивал, понятно ли. Обычно все молчали, что должно было означать «да, понятно». Тогда он поднимал с места кого-нибудь из не очень сильных (точнее, не из самых бойких) учеников и начинал подробный разбор: «Я сказал то-то и то-то, понятно?» Кивок. «Так. Повтори». Оказывалось, не может. «Пойдём к началу. А вот это понятно?» Не совсем. «Прекрасно. А что именно непонятно?» — допытывался до тех пор, пока ученик не сумеет сформулировать конкретный вопрос. Тогда Израиль Моисеевич обращался к «асам», и оказывалось, что они просто не обратили внимания на этот вопрос. В итоге восстанавливалась цепочка пропущенных рассуждений. Так школьники учились самостоятельно искать наводящие вопросы, видеть, что значит действительно понять до конца, и убеждались, что они очень многое «понимали» только в кавычках.

Я не раз, слушая эти разговоры Израиля Моисеевича с учениками, вспоминала, как кто-то говорил, что-де пусть студенты ничего не понимают — потом привыкнут. По-моему, с этого и начинается превращение людей в винтики. Они «привыкают» принимать всякую информацию без рассуждений, не обдумывая, — то-то раздолье административно-командному стилю!

Изменились и семинары. Снова давались серии задач, но уже с одной целью: подвести учеников к определению понятия предела, то есть, не давая определения, объяснить, что такое предел. Это полностью шло вразрез с традиционным подходом. В математике считается естественным введение нового понятия начинать с его определения. Но подумайте: ведь сами-то математики не могли дать определения предела, если они ещё не поняли, что это такое! А детей заставляют. Нехорошо.

На лекциях о пределах долго не говорилось ни слова: Гельфанд ждал, когда ученики станут достаточно подготовлены семинарскими занятиями. Сам же он показывал, как устроена математика, что такое её точность, и учил их математическому языку. При этом считал, что знать всю систему математики школьного курса и требовать её соблюдения во всех деталях «на пятёрку с плюсом» нужно только в математических классах. В других случаях достаточно понимать, как строится такая система, и уметь её построить на конкретном примере. А так как он считал, что новое надо вводить на простом, уже знакомом материале, то в качестве примера выбрал число. «Число привычно для ученика, поэтому на числах проще понять устройство математической теории».

И первую лекцию во втором полугодии Гельфанд начал с вопроса: «Что такое число?» И продолжал: «Разные люди ответили бы на этот вопрос вроде бы по-разному. Русский сказал бы: один, два, три… и написал 1, 2, 3… Француз — эн, де, труа… и написал бы то же самое. А японец сказал бы: ити, ни, сан… и нарисовал три сложные картинки. Но что такое число, все они понимали бы одинаково: попросту говоря число — это что-то такое, что можно складывать и умножать, соблюдая некоторые правила».

А дальше последнюю фразу он переводил на математический язык: вместо «Числа можно складывать» говорил: «Любым двум числам ставится в соответствие одно определённое число», а на доске появлялось: а + b c и т.д. Записывались «правила» — известные всем свойства сложения и умножения. Далее, как положено, давались определения нуля и единицы: а + 0 = а и а 1 = а. Потом появилась первая задача: «Доказать, что ноль только один», то есть доказать, что если есть другое число 0, обладающее определяющим свойством нуля (то есть а + 0 = а), то 0 = 0. Эту задачу решали на лекции, а следующую — «Доказать, что а 0 = 0» — предлагалось решить дома, но не «к следующему уроку», как в школе, а когда кто сумеет. А когда были введены отрицательные числа, Гельфанд дал своим девятиклассникам домашнее задание: «Написать учебник алгебры для 6-го класса» (то есть дать все необходимые определения, используемые в курсе математики для него, и полностью доказать все формулы, давая ссылки на каждый шаг), а после введения дробных чисел — учебник для 7-го.

Казалось бы, зачем девятиклассникам рассказывать об этих давно знакомых им вещах? Да именно для того, чтобы на уже хорошо известном им примере показать принцип аксиоматического построения математики и дать им на собственном опыте почувствовать, как после введения аксиом все остальные свойства и правила определяются однозначно.

Но чтобы дать определение предела, требовалось ещё овладеть специальным языком. И вот однажды он пришёл на лекцию и сказал как будто ни с того ни с сего: «Ученики должны показывать свои тетради учителям». А потом спросил: «Что означает эта фраза? Ничего не означает...» И привёл несколько примеров. Она может означать, что «каждый ученик должен показывать каждую тетрадь каждому учителю». А может означать: «у каждого ученика есть такая тетрадь, которую он должен показывать любому учителю» или «для каждого ученика есть учитель, которому он должен показывать любую тетрадь» и так далее. После того как ученики усвоили разницу между этими утверждениями, Гельфанд вводил кванторы и их обозначение: («любой») и («существует»), то есть заменял «разговорные» слова точными символами и уточнял с их помощью формулировки определения нуля и единицы:

А ученикам давал задание составить дома все возможные варианты фразы «ученики должны показывать тетради учителям» с использованием кванторов и разъяснить смысл каждого из полученных утверждений.

В итоге, после того как было дано представление о пределе и усвоен необходимый язык, ученики сами могли точно сформулировать определение предела. И Гельфанд торжественно провозгласил, что они перешли на другой уровень и теперь с ними можно разговаривать о математике на другом языке.

«Безумные идеи»

Не могу ничего сказать относительно «безумных идей» в математике, но в педагогике идея Заочной математической школы (ВЗМШ) — его главного детища и своеобразного памятника ему — выглядела вполне безумной. Подумайте только: любой школьник «от Москвы до самых до окраин» получает возможность стать учеником Гельфанда, и не только его!

В работе этой школы наиболее полно проявилась «педагогическая идеология» Гельфанда. Ведь преподавание во Второй школе — это, при всей его значимости, всего лишь отдельный эпизод, причём в исключительных условиях математического класса столичной школы, а ВЗМШ — нечто совсем другое. И дело не только в масштабах (хотя в школе занятия охватили всего около полусотни ребят, а уже первый приём в заочную школу составил 1442 человека). Гораздо более существенно, что во Второй школе Гельфанд имел дело с уже некоторым образом отобранными учениками (хотя бы уже тем, что они обучались в столичной спецшколе).

А в заочной школе могла учиться не только какая-то особо одарённая молодёжь — будущее и гордость отечественной науки, а обычные дети из любых уголков страны, вплоть до «буранных полустанков». Но Гельфанду как раз был нужен именно такой «контингент», ведь он всегда подчёркивал: «Я не спортивный тренер, а физкультурный врач. Не “леплю” чемпионов олимпиад, этаких “решателей задач”».

Вчитайтесь в слова Гельфанда: «По моей внутренней философии — ранее бессознательной, а теперь чёткой — я считаю, что математика помимо своего прикладного — в физике, инженерии, компьютерах и так далее — имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут».

А ведь в ВЗМШ кроме тысяч школьников учились также и школьные учителя: сразу после создания школы в ней появились так называемые коллективные ученики, то есть кружки, с которыми педагоги работали по пособиям заочной школы и под её руководством. И это очень важно: школьник окончит школу и уйдёт, а учитель-то останется и будет использовать всё, что получил от заочной школы, в работе с другими учениками.

Конечно, Гельфанд не мог сам лично учить каждого ученика заочной школы, но содержание обучения в ней определялось пособиями, специально написанными для неё. А первые пособия Гельфанд написал сам в соавторстве со своими учениками-сотрудниками. В книжке «Метод координат» ему удалось провести учеников от простейшего материала «Координаты на прямой» до геометрии четырёхмерного пространства. И он радовался как ребёнок, когда мы показали ему первую тетрадь с выполненным заданием, где была нарисована развёртка четырёхмерного куба: «Подумать только: девочка, живущая в какой-то Косой горе, смогла решить такую замечательную задачу!»

Но содержание — это ещё полдела: важно не только (а может быть, и не столько) чему учить, сколько как учить. С одной стороны, заочное обучение имеет то преимущество, что оно индивидуальное и легче обеспечивает дифференцированный подход. С другой стороны, чем заменить, хотя бы отчасти, живое общение ученика и учителя? Ведь именно в таком общении Гельфанд и учил своих учеников самому главному — пониманию.

В заочной школе ухитрились в какой-то мере осуществить такой же подход к обучению. Как на своих лекциях Гельфанд никогда не отвечал ученику прямо на его вопрос, а заставлял думать и самому дойти до ответа, так и в заочной школе проверяющему запрещалось исправлять ошибку в работе ученика. Он должен был лишь отметить её и дать такое указание, чтобы ученик, во-первых, понял свою ошибку, а во-вторых, сумел бы сам её исправить, до конца решить задачу, и ещё раз прислать уже исправленное решение. Иногда требовалось два-три цикла, чтобы ученик получил «зачёт» по теме (кое-кто таким же образом добивался повышения оценки).

Как правило, в конце проверяющий писал ученику короткую неформальную рецензию — по сути, личное письмо с общими советами. Во многих случаях возникала переписка — личное общение ученика с учителем выходило за рамки заданий. Таким образом, за почти пятьдесят лет работы заочной школы5выработалась своеобразная методика «проверки» работ школьников (слово «проверка» взято в кавычки, потому что в ВЗМШ она на самом деле превратилась в продолжение обучения).

О заочной школе можно было бы писать очень много, но мне кажется, что она заслуживает отдельного разговора.

Я думаю, что если бы Израиль Моисеевич прочёл эту статью, он бы удивился: «Ты считаешь, что я, читая лекции школьникам, какие-то там принципы реализовывал? Ничего подобного, моя цель была важнее: детей получше научить».

Действительно, Гельфанд вроде бы не открыл ничего нового. Давно известно, что надо идти от простого к сложному, что «лучше меньше, да лучше» и т.д. Заслуга Гельфанда в том, что он на деле поставил во главу всех «принципов» интересы ученика и показал, как учить самому «страшному» школьному предмету, чтобы это доставляло удовольствие.

Можно сказать, что математика Гельфанда-педагога — это математика с человеческим лицом.

Военный химик Белоусов

elementy.ru/lib/431286

Статья о школе Интеллектуал.

http://www.novayagazeta.ru/society/65633.html