Цели и задачи программы преподавания математики.

У нас в 1-ом классе в настоящий момент 16 учеников, из которых 7 девочек и 9 мальчиков. В основном они все старше 7 лет, но моложе 8. Четыре раза в неделю с ними занимаюсь я. Один раз в неделю у них проходит занятие по олимпиадной математике. И еще у них есть обычная государственная математика. Также у них много развивающих кружков, например, биология, естествознание, музыка с ее половинками, четвертинками, долями и т.д. Происходит комплексное воздействие на учеников. Чем бы ребенок ни занимался - всё его развивает.

У нас модульная система обучения. Что удалось сделать за 5 прошедших модулей? Запись чисел в различных системах исчисления, перезапись чисел из одной системы исчисления в другую, сложение-вычитание в разных системах исчисления, умножение многозначных чисел почти в столбик, деление почти уголком, т.е. почти все действия арифметики мы прошли. Все алгоритмы они выводили сами.

Я не давал никаких алгоритмов, сами постепенно к ним пришли. Почти дошли до умножения в столбик. Строим «гараж», чтобы в уме ничего не держать, не запоминать. Мы не любим ничего запоминать, зубрить. Все пишем. Деление уголком многозначных чисел на однозначные прошли, степени, обратные операции, т.е. извлечение корней и взятие логарифмов. Планиметрию немножечко взяли, понятие доказательства. В частности, что такое доказательство от противного. Доказали несколько теорем для тренировки, например, признаки равенства треугольников. Научились считать площади многоугольников, нарисованных на клетчатой доске. Но главное достижение, я считаю, это эмоциональная увлеченность детей, они просят сами домашнее задание. У меня в старших классах домашние задания не просят. А эти просят еще пока, но может скоро перестанут просить (смех в зале).

Планы.

Мы в первом модуле 2-ого класса построим целые числа, т.е. у нас появятся отрицательные числа, соответственно, функции и графики. Но графики у нас будут состоять из отдельных точек, т.к. у нас нет ни дробей, ни вещественных чисел, поэтому это будут не линии, а отдельные точки. Но все равно это графики, графики на множестве целых чисел. Графики прямых линий, абсолютной величины, квадратичной функции. Потом будут преобразования графиков, сдвиг графиков вверх, вниз, влево вправо, переворачивание. Сложение, умножение функций, многочлены, сложение, умножение многочленов, формулы сокращенного умножения, их применение для быстрого счета. Техника быстрого счета. Во 2-ом классе научимся быстро считать. Появятся двоично-рациональные числа - половинки, четвертинки, восьмушки и т.д. Продолжим планиметрию, там будут вписанные, описанные окружности. Различные равенства треугольников по трем элементам - по трем медианам, по трем биссектрисам, т.д. Дальше будет язык математической логики, теория множеств. В 3-ем классе - делимость, признаки делимости, линейные Диофантовы уравнения, построения рациональных чисел, система уравнений с 2-мя неизвестными, текстовые задачи на составление уравнений, соответственно, раз появились дроби – гомотетия, подобие. В 4-ом классе – элементы комбинаторики, метод математической индукции, векторы на плоскости, матрицы 2´2, линейные преобразования плоскости, детерминант и его геометрический смысл. Это то, что нам предстоит пройти за 4 года, т.е. программа начальной школы.

Особенности методики.

(Написано на стенде). – III тип; быстрая смена задач, низкая повторяемость; отработка за счет «наложения» (сложение-умножение, вычитание-деление, системы-задачи); постоянный интеллектуальный стресс, работа на границе ЗБР; эмоциональное подкрепление (успех на внешних мероприятиях, статус в группе, конкурентная среда + взаимодействие; непрерывность занятий математикой (д/з на выходные, каникулы); развитие навыков самостоятельной работы; ничего не объяснять, не рассказывать решений; эффект незавершённого действия Б.В. Зейгарник.

Есть, так называемых, 3 типа обучения. I-ый тип – проб и ошибок. II-ой тип – работа по готовому алгоритму. III-ий – построение алгоритма.

Я даю задачу, например, найдите закономерность. Например, выпишите квадраты 1, 4, 9, 16, 25 и попробуйте найти закономерность того, как эти числа растут. Задача открытого типа. Находят закономерность, не находят, постепенно все это делается. II-ой тип – работа по готовому алгоритму. Все алгоритмы, которые у нас были до сих пор, мы их все-таки вывели. И сложение-вычитание в столбик, умножение в столбик и деление уголком. И задачи по геометрии были. Правда, у нас всего 2 аксиомы. У нас не по Д.Гильберту. По Д.Гильберту будет в 7-ом классе. Построили все, что нам нужно и строим дальше. Но все равно мы доказываем, мы по III-ему типу доказываем, а потом пользуемся уже готовыми (нами же построенными) алгоритмами при решении задач.

За счет чего можно удерживать эмоциональную напряженность? За счет чего их можно заставлять все время бежать? Все время тянуться за знаниями, как за морковкой? Что нужно делать, чтобы все время держать их на дистанции? Все искусство состоит, собственно, в этом. Держать не слишком далеко, иначе их можно потерять, но и не слишком близко, иначе ослабнет темп. Найти ту границу, границу зоны ближайшего развития, границу их возможностей. Работая на пределе своих возможностей, они попадают в ситуацию эмоционального стресса. Именно в этой ситуации происходит резкий рост. Резкий рост интеллектуального развития. Можете просто обратиться к своему опыту, то, что мы хорошо помним, было связано с какими-то эмоциональными стрессами. Положительными, отрицательными, неважно какими. Это хорошо запоминается. Но можно создавать искусственно и поддерживать это поле все время. За счет чего это достигается?

• Во-первых, быстрая смена задач, низкая повторяемость. Т.е. дети утомляются, если они совершают монотонные, однотипные действия. Человек устает от однообразия, от однотипных задач. Если ему все время ставят задачи, где он попадает в тупик, где надо находить какое-то решение, где все время есть элемент поиска, все время что-то новое, то время летит незаметно и вроде бы как ощущения субъективной усталости не наступает.
• Во-вторых, отработка за счет наложения. Стандартно учителя достигают полной отработки какого-то одного материала. Т.е. тему не заканчивают до тех пор, а соответственно не переходят к следующей, пока все ученики не освоили ее на 100 %. Я делаю по-другому. Еще не достаточно отработали сложение, например, сложение столбиком. Недостаточно, ошибки еще делают, а я уже перехожу к умножению. Потому что при умножении приходится многократно все равно складывать. Они дорабатывают, это сложение, но уже занимаясь другим. Происходит наложение, нахлест. Пока мы следующее будем осваивать, доосвоим предыдущее. Т.е. мы не дожидаемся, пока все 100% будут складывать безошибочно, 30-40% освоили, мы переходим дальше к умножению. А умножая, они доделывают сложение, т.к. многократно им приходится складывать. Также не дожидаюсь я, и пока вычитание будет на 100% освоено. 60-70% научились - всё, переходим к делению. А, выполняя операцию деления, им приходится многократно выполнять операцию вычитания. Но зато это не создает монотонность и утомляемость, т.к. они, помимо вычитания, делают что-то новое. Также можно добиться навыка решения системы линейных уравнений. Можно заниматься, тренироваться и снова повторять. Пока все прекрасно не начали решать системы линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приводят к составлению этих уравнений. Потом их решать. А можно добиться какого-то уровня решения линейных уравнений, потом перейти к текстовым задачам, которые приведут к системам уравнений. И тогда уже опять их решать. По принципу запоминания песенки «дом, который построил Джек». Вот это я и называю нахлестом, это наложение позволяет еще выигрывать время.  Это система максимально быстрого продвижения. За счет таких резервов можно ускорить темп, при этом на самом деле не снижая качества.
• В-третьих, человек устроен так, что он любит успех. И здесь дети, которые опережают свое развитие, своих сверстников, обречены на успех на внешних мероприятиях, на олимпиадах и т.д. Им это нравится, они же любят грамоты, подарки, домой пришел, а там похвалили. Это естественная вещь. А это эмоциональное подкрепление. Это работает и на учителя. Этим предметом соответственно хочется заниматься. Потому что все любят получать пряники.
• В-четвертых, непрерывность. Я даю домашние задания на все выходные, на каникулы, на лето. Вода, как известно, камень точит. Постоянная интеллектуальная работа приводит к появлению потребности в такой работе, повышает интеллектуальную выносливость и, в конечном счёте, изменяет саму личность обучаемого. Разница не заметна на протяжении 2-3 месяцев, но на протяжении года она уже очень заметна. Эта постоянная умственная загруженность приносит свои плоды.
• В-пятых, за счет непрерывности развиваются навыки самостоятельной работы с текстом. Потому что приходится работать с теми конспектами, которые я даю. Но это уже позднее, это мостик уже в старшую школу, начиная с 6-ого класса.
• В-шестых, полезно ... ничего не объяснять! Я никогда не рассказываю, как решаются задачи, у доски - никогда. Мне кажется, что чем меньше учитель говорит, тем лучше! Чем меньше он рассказывает на уроке, тем лучше. Не надо ничего рассказывать! Подсказать можно, но подсказки тоже бывают разные.

У меня, например, ребята долго не могли решить довольно сложную задачу по геометрии. Вижу, что никак. Подхожу к доске и рисую окружность. И все. Т.е. не хватало какого-то толчка, небольшого. По-минимуму надо помогать. Есть у меня подсказки и такого вида – «Это просто». Это тоже подсказка. Это означает, что ищи решение на поверхности, не уходи вглубь. Это значит надо отбросить сложные комбинации, надо посмотреть на задачу сверху, значит решение где-то на поверхности. Т.е. подсказки должны быть минимальными. Но подсказки должны быть. Т.е. когда я даю задачу, я предусматриваю, что ее не решат. И даже не одну, а 2-3 подсказки, может быть, придется дать.

А какие именно, я пытаюсь предугадать и пишу заранее. Если не решат, я дам вот это, а если это не поможет, я дам вот это. Эффект Зейгарник - это эффект незаконченного действия. Не смогли, допустим, они решить задачу и просят: ну так скажите же, как она решается! А я говорю: подумаете и решите.. Она им не дает покоя, она их мучает. Урок закончился, они так и не знают решения, они не могу ее просто забыть. Как же она решается? Она, как заноза. Вот и хорошо. Пускай сидит, как заноза. И если я вижу, что они достаточно помучались, я даю подсказку. Когда человек долго думал над задачей, ему совсем немного надо, чтобы все у него в голове встало на место. Но эти усилия даром не проходят. Подсказать человеку, который думал над задачей, гораздо полезней, чем человеку, который над ней не думал. Никогда не подсказывайте тому, кто еще не подумал. Пусть сначала помучаются!

Недостатки программы.

Нынешняя школьная программа консервативна. Самая консервативная программа – это не институтская, а школьная. Она меняется очень медленно. Учебники построены в исторической последовательности, т.к. в исторической последовательности сначала были дроби, т.к. надо было что-то мерить. Я застал людей, которые учились в наших гимназиях до или вскоре после революции, так в то время отрицательные числа назывались относительными. К ним и отношение было соответствующим. А название «мнимые» числа, само за себя говорит. На самом деле, с логической, психологической, педагогической и т.д. точек зрения, отрицательные числа надо вводить раньше, чем дроби. Отрицательные числа - это очень простая вещь. Там всего лишь минус на минус равно плюс. Ничего запоминать не надо, потому что это очень естественная вещь. Объясняется с разных сторон, вполне доступно детям даже в 1-ом классе. Хотя у меня с этого начинается 2-ой класс. А дроби – это действительно сложное понятие. Здесь нужна математическая культура, прежде чем к нему перейти. Поэтому я стараюсь наработать эту математическую культуру как следует. Развить навыки абстрактного мышления, работу с буквами, с многочленами, с функциями и.т.д., прежде чем переходить к дробям.

Сейчас все совершенно разорвано в школьной программе. Так, например, появляется в 6-ом классе площадь круга. В площадь круга входит число p. Откуда взялось число p- непонятно, потому что ничего кроме дробей до тех пор не было. Оно дробью не является. Чем оно является? Бесконечной десятичной дробью. А, что это такое? Принято считать, что никто не спросит. Потому что достаточно было бы спросить и все, конец. Ведь десятичная дробь – это сокращённая запись операции сложения. Что такое сложить бесконечное количество чисел? Сложить бесконечное количество объектов чисел– это не то же самое, что сложить 20 или 30 чисел. Это понятие, которое надо как-то определять. Не понятно только, зачем это в 6-ом классе делать. Это можно сделать, но не обязательно в 6-ом классе. Кстати, мои 6-тиклассники не знают формулы площади круга и длины окружности. В этом они отстают от всех остальных. Они узнают, правда, это в 7-ом классе, когда построят вещественные числа с помощью Дедекиндовых сечений, и тогда в свои права вступит число p. Правда все равно площадь круга и длина окружности не совсем еще легализованы, потому что не очень понятно, почему они, собственно говоря, есть. Или возьмём геометрию, она действительно учит изобретательности. Но не нужно думать, что современные разделы математики, такие как топология, линейная алгебра или коммутативная алгебра этому не учат. И они, скорее всего, больше понадобятся тому, кто дальше математику изучать будет. Уж комплексные числа – это точно. В мое время были комплексные числа в программе, зато не было «начал анализа». Зачем нужны начала анализа? Потому что высшая школа начинает всегда с «забудьте то, чему учили вас в школе», потому что все делается заново. Уже не начала анализа, а анализ по-настоящему.